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ENGLISH
27-11-2024 - Analytic Geometry - Orthogonal Matrices and Isometries [EN]-[IT]
With this post I would like to give a short instruction about the topic mentioned in the subject
(code notes: X_63)
Orthogonal Matrices and Isometries
In analytical geometry, orthogonal matrices and isometries are fundamental concepts related to geometric transformations in Euclidean space.
Definition
A matrix
is said to be orthogonal if invertible e
i.e. the following applies writing
The set of n x n orthogonal matrices is denoted as follows:
Example
The matrix representing
of the Euclidean plane centered at the origin of an angle α, that is
is orthogonal
Proposition
The determinant of an orthogonal matrix is 1 or -1
Corollary
A matrix
is orthogonal if and only if its columns form an orthogonal basis of
Isometric Matrices
An isometric matrix is a geometric transformation that preserves distances between points. In other words, if a transformation f is an isometry, then for every pair of points P and Q:
In analytic geometry, isometrics can be represented by a combination of
-Translations
-Rotations
-Reflections
-Combinations of reflections and rotations
Conclusions
Orthogonal matrices describe linear isometrics, that is, transformations that include only rotations and reflections (without translations). An isometric matrix is described by an orthogonal matrix combined with a translation vector.
Question
Do you remember studying Orthogonal and Isometric matrices at school?
[ITALIAN]
27-11-2024 - Geometria analitica - Matrici ortogonali e isometrie [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_63)
Matrici ortogonali e isometrie
In geometria analitica, matrici ortogonali e isometrie sono concetti fondamentali legati alle trasformazioni geometriche nello spazio euclideo.
Definizione
Una matrice
è detta ortogonale se invertibile e
ovvero vale la seguente scrittura
L’insieme delle matrici ortogonali n x n è indicato come segue:
Esempio
La matrice che rappresenta
del piano euclideo centrata nell’origine di un angolo α, ossia
è ortogonale
Proposizione
Il determinante di una matrice ortogonale è 1 oppure -1
Corollario
Una matrice
è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortogonale di
Matrici isometriche
Una matrice isometrica è una trasformazione geometrica che preserva le distanze tra i punti. In altre parole, se una trasformazione f è un’isometria, allora per ogni coppia di punti P e Q:
In geometria analitica, le isometriche possono essere rappresentate mediante una combinazione di
-Traslazioni
-Rotazioni
-Riflessioni
-Combinazioni di riflessioni e rotazioni
Conclusioni
Le matrici ortogonali descrivono le isometriche lineari, ovvero trasformazioni che includono solo rotazioni e riflessioni (senza traslazioni). Una matrice isometrica è descritta da una matrice ortogonale combinata con un vettore di traslazione.
Domanda
Ricordato di aver studiato a scuola le matrici Ortogonali e isometrie?
THE END
