Problemilla  con  las  raíces  de  una  ecuación  cúbica. Tricky  roots  of  cubics  problem.⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀

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α , β , γ raíces de la ecuación cúbica, x 3 + 2x + 1 = 0 qué vale α 5 + β 5 + γ 5

Es de sobra conocida la relación entre los coeficientes de una ecuación algebraica y sus raíces, en la forma de las funciones simétricas elementales de las mismas.

Este problema nos propone determinar el valor de la suma de las quintas potencias de las raíces de un polinomio, nos están pidiendo que expresemos el valor de la función simétrica de las quintas potencias en función de las funciones simétricas elementales.

Utilizando la relación de Newton ,

sn - a1sn-1 + a2sn-2 - ... + (-1)nnan = 0

Donde,

			an = (1n) = ∑α1α2 ... αn ,    funciones elementales sn =  (n) = ∑α n,       suma de potencias

Tenemos una ecuación cúbica de forma que conocemos el valor de las funciones elementales (1³), (1²), (1)

			x 3 + 2x + 1 ,  x 3 - a1x2 + a2x - a3    a1 = 0, a2 = 2, a3 = -1

La ecuación ①, es una ecuación recurrente, resolviendo los valores de s_n ,

			sn = a1sn-1 - a2sn-2 + ... + (-1)n + 1nan  s1 = a1 = 0  s2 = a1s1 - 2a2 = 0 - 4 = -4  s3 = a1s2 - a2s1 + 3a3 = 0 - 0 + (-3) = -3  s4 = a1s3 - a2s2 + a3s1 - 4a4 = 0 - (-8) + 0 - 0 = 8  s5 = a1s4 - a2s3 + a3s2 - a4s1 + 5a5 = 0 - (-6) + 4 + 0 + 0 = 10

Por lo tanto,

α 5 + β 5 + γ 5 = 10

Fácil y sencillo a la par que simpático y agradable.

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α , β , γ roots of the cubic, x 3 + 2x + 1 = 0 calculate α 5 + β 5 + γ 5

The roots of an algebraic equation and coefficients are related by means of the elementary symmetric functions, as well known.

This problem poses the question on how fifth power sums and elementary symmetric functions related, asking to put fifth power sums symmetric function as elementary ones.

By means of the Newtonian relation,

sn - a1sn-1 + a2sn-2 - ... + (-1)nnan = 0

Where,

			an = (1n) = ∑α1α2 ... αn ,    elementary functions sn =  (n) = ∑α 2,       power sums

Our equation is a cubic one, so we know value of the elementary symmetric functions (1³), (1²), (1)

			x 3 + 2x + 1 ,  x 3 - a1x2 + a2x - a3    a1 = 0, a2 = 2, a3 = -1

Relation ①, is a recurrence relation, solving for s_n ,

			sn = a1sn-1 - a2sn-2 + ... + (-1)n + 1nan  s1 = a1 = 0  s2 = a1s1 - 2a2 = 0 - 4 = -4  s3 = a1s2 - a2s1 + 3a3 = 0 - 0 + (-3) = -3  s4 = a1s3 - a2s2 + a3s1 - 4a4 = 0 - (-8) + 0 - 0 = 8  s5 = a1s4 - a2s3 + a3s2 - a4s1 + 5a5 = 0 - (-6) + 4 + 0 + 0 = 10

Hence,

α 5 + β 5 + γ 5 = 10

Not so tricky.

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