12-10-2024 - Analytic geometry - linear combinations [EN]-[IT]

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ENGLISH
12-10-2024 - Analytic geometry - linear combinations [EN]-[IT]
With this post I would like to give a short instruction about the topic mentioned in the subject
(code notes: X_094)
linear combinations
Linear combinations are the simplest expression that we can write in a vector space.
Usually the expression of the linear combination is formed by geometric vectors with coefficients. The writing looks like this

image.png

Where:
a and b are the geometric vectors
2 and 3 are the coefficients

example
Let's write a linear combination of the vectors w and v shown below.

image.png

Linear combination
Let's consider the following linear combination

2 w + 3 v

image.png

We will get the following result.

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Linear combination of column vectors
Column vectors can also have linear combinations.
Consider the following column vectors.

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We use the coefficients 2 and -1. Below is the writing of the linear combination between column vectors.

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Below in blue is the result

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Conclusions
Linear combinations can be performed either on vectors with scalar or on column and coefficient vectors.

Question
Have you ever done these studies in your geometry or algebra classes?



[ITALIAN]
12-10-2024 - Geometria analitica - combinazioni lineari [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(code notes: X_094)
combinazioni lineari
Le combinazioni lineari sono la più semplice espressione che possiamo scrivere in uno spazio vettoriale.
Solitamente l'espressione della combinazione lineare è formata da vettori geometrici con coefficienti. La scrittura è simile alla seguente

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Dove:
a e b sono i vettori geometrici
2 e 3 sono i coefficienti

esempio
Scriviamo una combinazione lineare dei vettori w e v mostrati qui di seguito.

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Combinazione lineare
Prendiamo in considerazione la combinazione lineare seguente

2 w + 3 v

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Otterremo il seguente risultato.

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Combinazione lineare dei vettori colonna
Anche i vettori colonna possono avere combinazioni lineari.
Consideriamo i seguenti vettori colonna.

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Usiamo i coefficienti 2 e -1. Qui di seguito è riportata la scrittura della combinazione lineare tra vettori colonna.

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Qui di seguito in blu è riportato il risultato

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Conclusioni
Combinazioni lineari si possono effettuare sia su vettori con scalare oppure con vettori colonna e coefficiente.

Domanda
Avete mai eseguito questi studi durante le vostre lezioni di geometria o di algebra?

THE END

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I've done only a scanty study of analytical geometry alongside topology some years back and it's an interesting topic which I found intellectually stimulating. Thanks for the lesson. Have a great weekend.

Quite the first time I will be learning about this geometry but you actually explained this in details

Thanks for stopping by. I admit that after writing this post, I immediately thought of how to describe the combination of column vectors even more clearly. I thought I could make a post dedicated only to linear combinations of column vectors and explain them even better than I did in this article